訊號與系統基礎概念與速解#

本文整理訊號與系統的核心概念，包含完整的公式推導、專業圖表，以及考試速解訣竅。

📐 傅立葉轉換定義#

在開始解題之前，先確認本文使用的傅立葉轉換定義：

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} \, dt \quad \text{(正轉換)}$

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2\pi f t} \, df \quad \text{(逆轉換)}$

Part 1：基礎概念題 (第 1-2 題)#

這部分測試訊號與系統的基本定義與表示法。

📝 第 1 題：訊號的分類方式 (8%)#

題目原文#

「請寫出三種訊號的分類方式。」

解答#

訊號可以依據不同特性進行分類：

分類依據	類型 A	類型 B
能量/功率	能量訊號 (Energy Signal)	功率訊號 (Power Signal)
時間連續性	連續時間訊號 (CT Signal)	離散時間訊號 (DT Signal)
週期性	週期訊號 (Periodic)	非週期訊號 (Aperiodic)
對稱性	偶函數 (Even)	奇函數 (Odd)
確定性	確定訊號 (Deterministic)	隨機訊號 (Random)

📚 重點說明#

能量訊號 vs 功率訊號：

能量訊號：總能量有限 $E < \infty$ ，平均功率為零

$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt < \infty$

功率訊號：平均功率有限 $0 < P < \infty$ ，總能量為無限大

$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \, dt$

💡 記憶技巧：脈衝訊號是能量訊號，正弦波是功率訊號！

📝 考試答題模板#

1
訊號可依以下方式分類：
2

3
1. 能量/功率分類：能量訊號（E < ∞）vs 功率訊號（0 < P < ∞）
4
2. 時間連續性：連續時間訊號 vs 離散時間訊號
5
3. 週期性：週期訊號 vs 非週期訊號
6

7
（可額外補充：對稱性、確定性分類）

📝 第 2 題：LTI 系統的時域與頻域表示 (8%)#

題目原文#

「對於連續時間 LTI 系統，其脈衝響應為 $h(t)$ ，輸入訊號為 $x(t)$ ，請寫出輸出 $y(t)$ 在時域與頻域的表示式。」

解答#

時域表示 (卷積)

$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \cdot h(t - \tau) \, d\tau$

頻域表示 (相乘)

$Y(f) = X(f) \cdot H(f)$

📚 重點說明#

時域卷積 ↔ 頻域相乘 是訊號處理最重要的性質之一！

域	運算	說明
時域	卷積 (*)	較複雜，需積分
頻域	相乘 (·)	較簡單，直接相乘

這就是為什麼我們要學習傅立葉轉換：把複雜的卷積運算變成簡單的乘法！

$\mathcal{F}\{x(t) * h(t)\} = X(f) \cdot H(f)$

📝 考試答題模板#

1
LTI 系統輸出：
2

3
1. 時域表示（卷積）：
4
   y(t) = x(t) * h(t) = ∫ x(τ)·h(t-τ) dτ
5

6
2. 頻域表示（相乘）：
7
   Y(f) = X(f) · H(f)
8

9
重點：時域卷積 ↔ 頻域相乘

Part 2：傅立葉分析與卷積 (第 3-4 題)#

這部分測試傅立葉轉換與卷積運算。

📝 第 3 題：正弦訊號的傅立葉分析 (12%)#

題目原文#

「給定訊號： $x(t) = 2\cos(60\pi t + \frac{\pi}{4}) - 4\cos(100\pi t)$ 1. 畫出時域波形草圖 2. 畫出單邊頻譜與雙邊頻譜（振幅譜 + 相位譜） 3. 求傅立葉轉換 $X(f)$ 」

解答#

Step 1：分析各分量的頻率與振幅#

首先，從餘弦函數 $A\cos(\omega t + \phi)$ 中提取頻率： $f = \frac{\omega}{2\pi}$

分量	表達式	頻率計算	振幅	相位
第一項	$2\cos(60\pi t + \frac{\pi}{4})$	$f_1 = \frac{60\pi}{2\pi} = 30$ Hz	$A_1 = 2$	$\phi_1 = 45°$
第二項	$-4\cos(100\pi t)$	$f_2 = \frac{100\pi}{2\pi} = 50$ Hz	$A_2 = 4$	$\phi_2 = 180°$

⚠️ 注意： $-4\cos(\theta) = 4\cos(\theta + \pi)$ ，所以相位要加 $\pi$ ！

Step 2：單邊頻譜與雙邊頻譜#

🎯 重要規則：DC 分量無論單邊或雙邊都不用除以 2

⚠️ 常見疑問：雙邊頻譜中，其他頻率都要除以 2，那 DC 分量 (f=0) 要不要除以 2？

答案：不用！ DC 分量在單邊和雙邊頻譜中振幅完全相同，都不需要除以 2。

為什麼其他頻率要除以 2，DC 卻不用？

分量類型	單邊頻譜	雙邊頻譜	為什麼？
DC (f=0)	振幅 = A	振幅 = A	DC 只存在於 f=0 這一個點， $-0 = 0$ ，沒有負頻率對應
cos 項 (f≠0)	振幅 = A	振幅 = A/2（各在 ±f）	cos 分裂成 $+f$ 和 $-f$ 兩個點，振幅各半

實例說明：

假設訊號 $x(t) = 5 + 4\cos(2\pi \cdot 100 \cdot t)$

頻譜類型	f=0 (DC)	f=100 Hz	f=-100 Hz
單邊頻譜	5	4	（不畫）
雙邊頻譜	5	2	2

注意：DC 分量的 5 在兩種頻譜中都是 5，不變！

第3題頻譜分析

Step 3：傅立葉轉換 $X(f)$ #

使用傅立葉轉換對：

$\cos(2\pi f_0 t + \phi) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2}[e^{j\phi}\delta(f - f_0) + e^{-j\phi}\delta(f + f_0)]$

第一項 $2\cos(60\pi t + \frac{\pi}{4})$ ：

$\mathcal{F}\{2\cos(60\pi t + \frac{\pi}{4})\} = e^{j\frac{\pi}{4}}\delta(f - 30) + e^{-j\frac{\pi}{4}}\delta(f + 30)$

第二項 $-4\cos(100\pi t)$ ：

視為 $4\cos(100\pi t + \pi)$ ，振幅 $A=4$ ，相位 $\phi = \pi$ 。

$\mathcal{F}\{4\cos(100\pi t + \pi)\} = 2e^{j\pi}\delta(f - 50) + 2e^{-j\pi}\delta(f + 50)$

💡 註： $e^{j\pi} = -1$ ，所以這與 $-2\delta(f-50)-2\delta(f+50)$ 是完全一樣的。但寫成指數形式更能看出相位是 $+180°$ 。

合併結果：

$\boxed{X(f) = e^{j\frac{\pi}{4}}\delta(f - 30) + e^{-j\frac{\pi}{4}}\delta(f + 30) + 2e^{j\pi}\delta(f - 50) + 2e^{-j\pi}\delta(f + 50)}$

📝 考試答題模板#

1
Step 1: 提取頻率 f = ω/(2π)
2
第一項 2cos(60πt + π/4)：f₁ = 30 Hz, A₁ = 2, φ₁ = 45°
3
第二項 -4cos(100πt)：f₂ = 50 Hz, A₂ = 4, φ₂ = 180°（負號 = +180° = π）
4

5
Step 2: 畫頻譜
6
單邊：在 f₁, f₂ 處畫振幅 A₁, A₂
7
雙邊：在 ±f₁, ±f₂ 處畫振幅 A/2（DC 不除 2）
8

9
Step 3: 傅立葉轉換
10
cos(2πf₀t + φ) → (A/2)[e^(jφ)δ(f-f₀) + e^(-jφ)δ(f+f₀)]
11

12
答案：
13
X(f) = e^(jπ/4)δ(f-30) + e^(-jπ/4)δ(f+30) + 2e^(jπ)δ(f-50) + 2e^(-jπ)δ(f+50)

🔧 卷積觀念補充：矩形脈衝卷積#

在解第 4 題之前，先用一個簡單的例子理解卷積的「滑動重疊」概念。

暖身題#

題目： $x(t) = 1$ 當 $0 \leq t \leq 3$ ， $h(t) = 1$ 當 $0 \leq t \leq 3$

求 $y(t) = x(t) * h(t)$

卷積的圖解法#

卷積公式： $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \cdot h(t - \tau) \, d\tau$

核心概念：把 $h(\tau)$ 翻轉成 $h(-\tau)$ ，然後滑動 $t$ 單位變成 $h(t-\tau)$

卷積暖身題圖解

三種情況分析#

情況	條件	重疊區域	y(t)
沒有重疊	$t < 0$ 或 $t > 6$	無	0
部分重疊（進入）	$0 \leq t \leq 3$	$[0, t]$	$t$
完全重疊	$t = 3$	$[0, 3]$	3（最大值）
部分重疊（離開）	$3 \leq t \leq 6$	$[t-3, 3]$	$6-t$

矩形卷積的完整答案#

分段函數表示：

條件	$y(t)$ 值
$t < 0$	$0$
$0 \leq t \leq 3$	$t$
$3 \leq t \leq 6$	$6-t$
$t > 6$	$0$

卷積結果-三角形

💡 記憶口訣：兩個等寬矩形卷積 = 三角形！寬度 = 3+3 = 6

📝 第 4 題：卷積運算 (12%)#

題目原文#

「給定： - 脈衝響應： $h(t) = e^{-3t}u(t)$ - 輸入訊號： $x(t) = u(t)$

計算輸出 $y(t) = x(t) * h(t)$ 並畫出波形。」

解答#

這題是無限長的步階函數與指數衰減函數的卷積。

🎬 卷積過程圖解#

Step 1：翻轉 h(τ) → h(-τ)

把 $h(\tau) = e^{-3\tau}u(\tau)$ （尾巴朝右）翻轉成 $h(-\tau)$ （尾巴朝左）：

翻轉過程

Step 2：滑動 h(t-τ) 並計算重疊面積

翻轉後的 $h(-\tau)$ 往右滑動 $t$ 單位，變成 $h(t-\tau)$ 。綠色區域 = 重疊面積 = $y(t)$ ：

滑動過程

完整過程一覽：

完整卷積過程

🔑 Step 1：寫出卷積公式#

卷積的定義：

$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \cdot h(t - \tau) \, d\tau$

⚠️ 重要觀念：卷積是積分，不是單純的點乘！

輸出 $y(t)$ 等於「重疊區域的面積」，而不是「同一時刻的兩個值相乘」。

這就是為什麼 $x(0) = 1$ 且 $h(0) = 1$ ，但 $y(0) = 0$ ——因為在 $t=0$ 時，重疊區域的面積是零！

代入題目的函數：

$x(\tau) = u(\tau) = \begin{cases} 1, & \tau \geq 0 \\ 0, & \tau < 0 \end{cases}$

$h(t - \tau) = e^{-3(t-\tau)} \cdot u(t-\tau) = \begin{cases} e^{-3(t-\tau)}, & \tau \leq t \\ 0, & \tau > t \end{cases}$

帶入卷積公式：

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot e^{-3(t-\tau)} \cdot u(t-\tau) \, d\tau$

🔑 Step 2：找出積分範圍（最重要的步驟！）#

被積函數中有兩個單位步階函數 $u(\tau)$ 和 $u(t-\tau)$ ，它們各自決定「何時不為零」：

函數	不為零的條件	白話解釋
$u(\tau) = 1$	$\tau \geq 0$	$\tau$ 必須是正的
$u(t-\tau) = 1$	$t - \tau \geq 0$ ，即 $\tau \leq t$	$\tau$ 不能超過 $t$

兩個條件交集： $0 \leq \tau \leq t$

分情況討論：

情況	條件	交集範圍	結果
情況 A	$t < 0$	交集為空集（ $\tau$ 無法同時 $\geq 0$ 又 $\leq t < 0$ ）	$y(t) = 0$
情況 B	$t \geq 0$	$[0, t]$	需要積分計算

💡 記憶口訣：當 $t$ 還沒到 0， $h(t-\tau)$ 還沒「滑」進來，所以沒有重疊！

🔑 Step 3：化簡被積函數（當 $t \geq 0$ ）#

在積分範圍 $[0, t]$ 內，兩個 step function 都等於 1：

$y(t) = \int_{0}^{t} 1 \cdot e^{-3(t-\tau)} \cdot 1 \, d\tau = \int_{0}^{t} e^{-3(t-\tau)} \, d\tau$

展開指數部分（這步很重要！）：

$e^{-3(t-\tau)} = e^{-3t + 3\tau} = e^{-3t} \cdot e^{3\tau}$

所以：

$y(t) = \int_{0}^{t} e^{-3t} \cdot e^{3\tau} \, d\tau$

🔑 Step 4：把常數提到積分外面#

因為 $e^{-3t}$ 對 $\tau$ 來說是常數（積分變數是 $\tau$ ，不是 $t$ ），可以提出來：

$y(t) = e^{-3t} \int_{0}^{t} e^{3\tau} \, d\tau$

💡 提醒：積分變數是 $\tau$ ，所以任何只包含 $t$ 的項（如 $e^{-3t}$ ）都可以當常數提出！

🔑 Step 5：計算 $\int e^{3\tau} d\tau$ （微積分核心）#

這是指數函數的積分，公式為：

$\int e^{a\tau} \, d\tau = \frac{e^{a\tau}}{a} + C$

套用 $a = 3$ ：

$\int e^{3\tau} \, d\tau = \frac{e^{3\tau}}{3} + C$

🔑 Step 6：代入積分上下限#

定積分從 $0$ 到 $t$ ：

$\int_{0}^{t} e^{3\tau} \, d\tau = \left[ \frac{e^{3\tau}}{3} \right]_{\tau=0}^{\tau=t}$

代入上限 $\tau = t$ ：

$\frac{e^{3 \cdot t}}{3} = \frac{e^{3t}}{3}$

代入下限 $\tau = 0$ ：

$\frac{e^{3 \cdot 0}}{3} = \frac{e^{0}}{3} = \frac{1}{3}$

上限減下限：

$\int_{0}^{t} e^{3\tau} \, d\tau = \frac{e^{3t}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{e^{3t} - 1}{3}$

🔑 Step 7：乘回 $e^{-3t}$ #

$y(t) = e^{-3t} \cdot \frac{e^{3t} - 1}{3}$

展開分配律：

$y(t) = \frac{e^{-3t} \cdot e^{3t} - e^{-3t} \cdot 1}{3} = \frac{e^{-3t+3t} - e^{-3t}}{3} = \frac{e^{0} - e^{-3t}}{3}$

$y(t) = \frac{1 - e^{-3t}}{3}$

🔑 Step 8：寫出完整答案（分段函數形式）#

$\boxed{y(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ \dfrac{1 - e^{-3t}}{3}, & t \geq 0 \end{cases}}$

或者用單位步階函數簡寫：

$\boxed{y(t) = \frac{1}{3}(1 - e^{-3t}) \cdot u(t)}$

📊 驗算（考試一定要驗算！）#

代入值	計算過程	結果	是否合理？
$t = 0$	$y(0) = \frac{1-e^0}{3} = \frac{1-1}{3} = \frac{0}{3}$	0	✅ 從 0 開始，因為剛開始沒有累積面積
$t = \frac{1}{3}$	$y(\frac{1}{3}) = \frac{1-e^{-1}}{3} = \frac{1-0.368}{3} \approx 0.211$	0.211	✅ 約為終值的 63.2%（一個時間常數）
$t \to \infty$	$y(\infty) = \frac{1-e^{-\infty}}{3} = \frac{1-0}{3}$	1/3	✅ 趨近於終值

🤔 為什麼 $y(0) = 0$ ？（解答您的疑問！）#

這是很多學生的常見誤解！讓我詳細解釋：

錯誤想法：「 $x(0) = 1$ 且 $h(0) = 1$ ，所以 $y(0) = 1 \times 1 = 1$ 」

正確觀念：卷積是積分（面積），不是點乘！

$y(0) = \int_0^{0} e^{-3(0-\tau)} d\tau = \int_0^{0} (\text{任何函數}) \, d\tau = 0$

當上下限相等時，積分結果必定為 0！這就像問「從 0 到 0 這一點的面積是多少？」——答案當然是 0。

圖解理解：

時間 $t$	積分範圍 $[0, t]$	重疊區域	$y(t)$
$t = 0$	$[0, 0]$	只有一個點，面積 = 0	0
$t = 0.5$	$[0, 0.5]$	有一段區間，面積 > 0	0.254
$t = 1$	$[0, 1]$	區間更大，面積更大	0.317
$t \to \infty$	$[0, \infty)$	無限大區間	趨近 1/3

📈 波形圖#

第4題卷積響應

波形特性：

特性	值	說明
初始值	$y(0) = 0$	從 0 開始，因為積分上下限相等
終值	$y(\infty) = \frac{1}{3}$	漸近線，永遠不會真正到達
時間常數	$\tau = \frac{1}{3}$ 秒	到達終值 63.2% 的時間
曲線形狀	指數上升	一開始快，後來慢

💡 物理意義：這是 RC 低通濾波器的步階響應！當你用一個開關（步階輸入）對 RC 電路充電時，電容電壓就是這樣的曲線。

📝 考試答題模板#

如果考試時間有限，可以這樣寫：

1
Step 1: 寫出卷積積分
2
y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ = ∫u(τ)·e^(-3(t-τ))·u(t-τ)dτ
3

4
Step 2: 確定積分範圍
5
u(τ) → τ ≥ 0
6
u(t-τ) → τ ≤ t
7
∴ 當 t ≥ 0，積分範圍為 [0, t]
8

9
Step 3: 計算積分
10
y(t) = ∫₀ᵗ e^(-3(t-τ)) dτ
11
     = e^(-3t) ∫₀ᵗ e^(3τ) dτ
12
     = e^(-3t) · [e^(3τ)/3]₀ᵗ
13
     = e^(-3t) · (e^(3t)-1)/3
14
     = (1 - e^(-3t))/3
15

16
答案：y(t) = (1/3)(1 - e^(-3t))u(t)

Part 3：濾波器與取樣定理 (第 5-6 題)#

這部分測試理想濾波器與取樣定理。

📝 第 5 題：理想濾波器分析 (20%)#

題目原文#

「給定四種理想濾波器參數： - 低通濾波器 (LPF)：截止頻率 $f_c = 500$ Hz - 高通濾波器 (HPF)：截止頻率 $f_c = 500$ Hz - 帶通濾波器 (BPF)： $f_1 = 550$ Hz, $f_2 = 700$ Hz - 帶拒濾波器 (BSF)： $f_1 = 550$ Hz, $f_2 = 700$ Hz

輸入訊號： $x(t) = 3\cos(400\pi t) + 4\cos(800\pi t) + 8\cos(900\pi t) + \cos(1200\pi t) + 3\cos(9000\pi t)$

求各濾波器的輸出（忽略相位響應）。」

解答#

Step 1：分析輸入訊號各分量頻率#

分量	角頻率 $\omega$	頻率 $f = \frac{\omega}{2\pi}$	振幅
1	$400\pi$	200 Hz	3
2	$800\pi$	400 Hz	4
3	$900\pi$	450 Hz	8
4	$1200\pi$	600 Hz	1
5	$9000\pi$	4500 Hz	3

Step 2：各濾波器輸出#

第5題濾波器分析

🔵 低通濾波器 (LPF) - 通過 $f < 500$ Hz

$\boxed{y_{LPF}(t) = 3\cos(400\pi t) + 4\cos(800\pi t) + 8\cos(900\pi t)}$

🔴 高通濾波器 (HPF) - 通過 $f > 500$ Hz

$\boxed{y_{HPF}(t) = \cos(1200\pi t) + 3\cos(9000\pi t)}$

🟢 帶通濾波器 (BPF) - 通過 $550 < f < 700$ Hz

$\boxed{y_{BPF}(t) = \cos(1200\pi t)}$

🟡 帶拒濾波器 (BSF) - 拒絕 $550 < f < 700$ Hz

$\boxed{y_{BSF}(t) = 3\cos(400\pi t) + 4\cos(800\pi t) + 8\cos(900\pi t) + 3\cos(9000\pi t)}$

視覺化整理#

頻率 (Hz)	LPF	HPF	BPF	BSF
200	✅	❌	❌	✅
400	✅	❌	❌	✅
450	✅	❌	❌	✅
600	❌	✅	✅	❌
4500	❌	✅	❌	✅

📝 考試答題模板#

1
Step 1: 求各分量頻率 f = ω/(2π)
2
400π → 200 Hz, 800π → 400 Hz, 900π → 450 Hz
3
1200π → 600 Hz, 9000π → 4500 Hz
4

5
Step 2: 判斷各濾波器通過條件
6
LPF (f < 500 Hz)：200, 400, 450 Hz ✓
7
HPF (f > 500 Hz)：600, 4500 Hz ✓
8
BPF (550 < f < 700 Hz)：600 Hz ✓
9
BSF (f < 550 或 f > 700 Hz)：200, 400, 450, 4500 Hz ✓
10

11
Step 3: 寫出輸出
12
y_LPF = 3cos(400πt) + 4cos(800πt) + 8cos(900πt)
13
y_HPF = cos(1200πt) + 3cos(9000πt)
14
y_BPF = cos(1200πt)
15
y_BSF = 3cos(400πt) + 4cos(800πt) + 8cos(900πt) + 3cos(9000πt)

📝 第 6 題：取樣與重建 (20%)#

題目原文#

「給定訊號： $x(t) = 3 + 4\cos(200\pi t) + 2\cos(500\pi t)$

取樣頻率： $f_s = 800$ Hz

1. 畫出 $x(t)$ 的雙邊頻譜 2. 求 $x(t)$ 的傅立葉轉換 3. 求 $x(t)$ 的頻寬 4. 畫出取樣後的頻譜 5. 說明如何重建原訊號 6. 說明取樣定理」

解答#

Step 1：分析訊號頻率成分#

分量	表達式	頻率
DC	$3$	$f = 0$ Hz
分量 1	$4\cos(200\pi t)$	$f_1 = 100$ Hz
分量 2	$2\cos(500\pi t)$	$f_2 = 250$ Hz

(1)-(4) 頻譜分析圖#

第6題取樣頻譜

原始頻譜說明：

$f = 0$ ：振幅 = 3（DC 分量）
$f = \pm 100$ Hz：振幅 = 2（雙邊各一半）
$f = \pm 250$ Hz：振幅 = 1（雙邊各一半）

取樣後頻譜說明：

原始頻譜以 $f_s = 800$ Hz 為週期重複
由於 $f_s = 800$ Hz $> 2 \times 250$ Hz $= 500$ Hz，不會產生頻譜混疊！

(2) 傅立葉轉換#

$X(f) = 3\delta(f) + 2[\delta(f-100) + \delta(f+100)] + [\delta(f-250) + \delta(f+250)]$

(3) 頻寬#

$\boxed{B = f_{max} = 250 \text{ Hz}}$

(5) 如何重建原訊號#

使用理想低通濾波器進行重建：

設計截止頻率： $250 < f_c < 550$ Hz（例如 $f_c = 400$ Hz）
將取樣訊號通過此低通濾波器
濾波器會保留原始頻譜，濾除複製的高頻成分

$x(t) = x_s(t) * h_{LPF}(t)$

其中 $h_{LPF}(t) = 2f_c \cdot \text{sinc}(2f_c t)$

(6) 取樣定理 (Nyquist-Shannon Sampling Theorem)#

📌 取樣定理：若連續訊號 $x(t)$ 的最高頻率為 $f_{max}$ ，則取樣頻率必須滿足： $f_s \geq 2f_{max}$ 才能從取樣訊號完美重建原始訊號。

本題驗證：

$f_{max} = 250$ Hz
奈奎斯特頻率： $f_N = 2 \times 250 = 500$ Hz
實際取樣頻率： $f_s = 800$ Hz $\geq 500$ Hz ✅

滿足取樣定理，可完美重建！

📝 考試答題模板#

1
Step 1: 分析頻率成分
2
DC = 3 (f=0), 4cos(200πt) → 100 Hz, 2cos(500πt) → 250 Hz
3

4
Step 2: 傅立葉轉換
5
X(f) = 3δ(f) + 2[δ(f-100) + δ(f+100)] + [δ(f-250) + δ(f+250)]
6

7
Step 3: 頻寬
8
B = f_max = 250 Hz
9

10
Step 4: 檢驗取樣定理
11
f_s = 800 Hz > 2 × 250 Hz = 500 Hz ✓ 滿足
12

13
Step 5: 重建方法
14
使用理想 LPF，截止頻率 250 < f_c < 550 Hz
15

16
Step 6: 取樣定理
17
f_s > 2f_max（奈奎斯特條件）

Part 4：傅立葉級數與進階取樣 (第 7-8 題)#

📝 第 7 題：傅立葉級數分析 (12%)#

題目原文#

「給定週期方波 $x(t)$ 的傅立葉級數展開： $x(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\left[\cos(2\pi f_0 t) - \frac{1}{3}\cos(6\pi f_0 t) + \frac{1}{5}\cos(10\pi f_0 t) - \cdots\right]$

1. 求 $x(t)$ 的平均功率 2. 求直流分量的平均功率 3. 畫出雙邊振幅頻譜 4. 求理論絕對頻寬與考慮到第 5 諧波的頻寬」

解答#

Step 1：識別各諧波分量#

諧波	頻率	係數	振幅
DC	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
1st	$f_0$	$\frac{2}{\pi}$	$\frac{2}{\pi}$
3rd	$3f_0$	$-\frac{2}{3\pi}$	$\frac{2}{3\pi}$
5th	$5f_0$	$\frac{2}{5\pi}$	$\frac{2}{5\pi}$

(1) 平均功率#

對於方波（振幅在 0 和 1 之間），在一個週期內，訊號一半時間為 1，一半時間為 0：

$P = \frac{1}{T_0}\int_0^{T_0} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \boxed{\frac{1}{2}}$

💡 如何從傅立葉級數判斷方波振幅範圍？

看 DC 分量（ $c_0$ 或 $a_0$ ）！

DC 分量方波類型振幅範圍平均功率
$c_0 = 0$ 對稱方波 -A ↔ +A $1$ （若 A=1）
$c_0 = \frac{1}{2}$ 單邊方波 0 ↔ 1 $\frac{1}{2}$
$c_0 = \frac{A}{2}$ 單邊方波 0 ↔ A $\frac{A^2}{2}$

本題 DC = 1/2 → 方波振幅為 0 ↔ 1 → 平均功率 = 1/2

DC 分量	方波類型	振幅範圍	平均功率
$c_0 = 0$	對稱方波	-A ↔ +A	$1$ （若 A=1）
$c_0 = \frac{1}{2}$	單邊方波	0 ↔ 1	$\frac{1}{2}$
$c_0 = \frac{A}{2}$	單邊方波	0 ↔ A	$\frac{A^2}{2}$

(2) DC 分量的平均功率#

$P_{DC} = |c_0|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \boxed{\frac{1}{4}}$

(3) 雙邊振幅頻譜#

第7題傅立葉級數頻譜

⚠️ 注意：DC 分量不除以 2，其他頻率除以 2！

(4) 頻寬分析#

理論絕對頻寬：

方波包含無限多諧波（1st, 3rd, 5th, …），理論上：

$\boxed{B_{絕對} = \infty}$

考慮到第 5 諧波的頻寬：

$\boxed{B_{5次} = 5f_0}$

📝 考試答題模板#

1
Step 1: 識別傅立葉級數係數
2
DC: c₀ = 1/2
3
基頻: c₁ = 2/π (頻率 f₀)
4
3次諧波: c₃ = 2/(3π) (頻率 3f₀)
5
5次諧波: c₅ = 2/(5π) (頻率 5f₀)
6

7
Step 2: 平均功率（方波 0-1）
8
P = (1/T₀)∫|x(t)|² dt = 1/2
9

10
Step 3: DC 分量功率
11
P_DC = |c₀|² = (1/2)² = 1/4
12

13
Step 4: 頻寬
14
理論絕對頻寬 = ∞（無限多諧波）
15
第 5 諧波頻寬 = 5f₀

📝 第 8 題：三角頻譜的取樣 (15%)#

題目原文#

「給定訊號 $x(t)$ 的頻譜 $X(f)$ 為三角形，中心在 0，範圍從 -200 Hz 到 +200 Hz，峰值高度為 2。

取樣頻率： $f_s = 600$ Hz

1. 求 $x(t)$ 的頻寬 2. 畫出取樣後的頻譜 3. 說明如何重建訊號 4. 說明取樣定理」

解答#

(1) 頻寬#

$\boxed{B = f_{max} = 200 \text{ Hz}}$

(2) 頻譜分析#

第8題三角頻譜取樣

檢查是否混疊：

原始頻譜範圍：-200 到 200 Hz
複製頻譜中心在 ±600 Hz
兩者不重疊！

因為 $f_s = 600$ Hz $> 2 \times 200 = 400$ Hz ✅

(3) 如何重建訊號#

使用理想低通濾波器：

截止頻率選擇： $200 < f_c < 400$ Hz（例如 $f_c = 300$ Hz）
濾波器增益： $T_s = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{600}$

$X(f) = X_s(f) \cdot H_{LPF}(f)$

(4) 取樣定理說明#

本題驗證：

參數	值
最高頻率 $f_{max}$	200 Hz
奈奎斯特率 $2f_{max}$	400 Hz
取樣頻率 $f_s$	600 Hz
$f_s > 2f_{max}$ ?	600 > 400 ✅

結論：滿足取樣定理，可完美重建原訊號！

📝 考試答題模板#

1
Step 1: 頻寬
2
B = f_max = 200 Hz
3

4
Step 2: 畫取樣頻譜
5
原三角頻譜在 f = 0，複製在 ±f_s = ±600 Hz
6
確認複製頻譜不重疊（|f_s - f_max| = 400 > 200）
7

8
Step 3: 取樣定理驗證
9
f_s = 600 Hz > 2 × 200 = 400 Hz ✓
10

11
Step 4: 重建方法
12
使用理想 LPF，截止頻率 200 < f_c < 400 Hz
13
X(f) = X_s(f) × H_LPF(f)

📋 公式總整理#

傅立葉轉換定義#

轉換	公式
正轉換	$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} \, dt$
逆轉換	$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2\pi f t} \, df$

傅立葉轉換對#

時域 $x(t)$	頻域 $X(f)$
$1$	$\delta(f)$
$\delta(t)$	$1$
$e^{j2\pi f_0 t}$	$\delta(f - f_0)$
$\cos(2\pi f_0 t)$	$\frac{1}{2}[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)]$
$\sin(2\pi f_0 t)$	$\frac{1}{2j}[\delta(f-f_0) - \delta(f+f_0)]$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a + j2\pi f}$
$\text{rect}(t)$	$\text{sinc}(f)$

重要性質#

性質	時域	頻域
線性	$ax(t) + by(t)$	$aX(f) + bY(f)$
時移	$x(t-t_0)$	$X(f)e^{-j2\pi f t_0}$
頻移	$x(t)e^{j2\pi f_0 t}$	$X(f-f_0)$
卷積	$x(t) * h(t)$	$X(f) \cdot H(f)$
相乘	$x(t) \cdot h(t)$	$X(f) * H(f)$

取樣定理關鍵公式#

$f_s > 2f_{max} \quad \text{(奈奎斯特條件)}$

$X_s(f) = f_s \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(f - nf_s) \quad \text{(取樣頻譜)}$

📌 EX：cos 波轉換速解訣竅#

考試遇到 cos 波要求傅立葉轉換或級數？記住這幾個訣竅，秒殺不用算！

🎯 訣竅一：cos → 指數形式（傅立葉級數）#

規則： $A\cos(\theta)$ 直接變成兩個指數項！

$A\cos(\theta) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{2}e^{+j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta}$

口訣#

振幅 $A$ 除以 2
寫 $e$ ，指數就是原本括號內的東西
前面那項是 +j，後面那項是 -j
兩項相加

範例#

原式	轉換結果
$4\cos(2000\pi t)$	$2e^{+j2000\pi t} + 2e^{-j2000\pi t}$
$6\cos(500\pi t)$	$3e^{+j500\pi t} + 3e^{-j500\pi t}$
$10\cos(800\pi t + \frac{\pi}{4})$	$5e^{+j(800\pi t + \frac{\pi}{4})} + 5e^{-j(800\pi t + \frac{\pi}{4})}$

⚠️ 負號處理： $-A\cos(\theta) = A\cos(\theta + \pi)$ ，先把負號變成相位 $+\pi$ ！

🎯 訣竅二：cos → δ 函數（傅立葉轉換）#

規則： $A\cos(2\pi f_0 t)$ 變成兩個 δ 函數！

$A\cos(2\pi f_0 t) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{2}\delta(f - f_0) + \frac{A}{2}\delta(f + f_0)$

口訣#

振幅 $A$ 除以 2
從 $\cos(k\pi t)$ 提取頻率： $f_0 = \frac{k}{2}$ Hz
寫兩個 δ：一個 $\delta(f - f_0)$ ，一個 $\delta(f + f_0)$

範例#

原式	頻率	轉換結果
$2\cos(500\pi t)$	$250$ Hz	$\delta(f-250) + \delta(f+250)$
$4\cos(1000\pi t)$	$500$ Hz	$2\delta(f-500) + 2\delta(f+500)$
$-8\cos(2000\pi t)$	$1000$ Hz	$-4\delta(f-1000) - 4\delta(f+1000)$

🎯 訣竅三：提取頻率#

從 $\cos(k\pi t)$ 提取頻率的公式：

$f = \frac{k}{2} \text{ Hz}$

範例#

表達式	$k$ 值	頻率 $f = k/2$
$\cos(500\pi t)$	$500$	$250$ Hz
$\cos(1000\pi t)$	$1000$	$500$ Hz
$\cos(2000\pi t)$	$2000$	$1000$ Hz

📊 完整範例#

$x(t) = 2\cos(500\pi t) + 4\cos(1000\pi t) - 8\cos(2000\pi t)$

傅立葉轉換 $X(f)$ #

直接套訣竅二：

$X(f) = \underbrace{\delta(f \pm 250)}_{A=2 \to 1} + \underbrace{2\delta(f \pm 500)}_{A=4 \to 2} \underbrace{- 4\delta(f \pm 1000)}_{A=8 \to 4, 負號}$

傅立葉級數（指數形式）#

直接套訣竅一：

$x(t) = \underbrace{1 \cdot e^{\pm j500\pi t}}_{A=2 \to 1} + \underbrace{2 \cdot e^{\pm j1000\pi t}}_{A=4 \to 2} + \underbrace{(-4) \cdot e^{\pm j2000\pi t}}_{A=8 \to 4, 負號}$

頻譜圖#

雙邊頻譜圖

🆚 $|C_n|$ vs 振幅 $A$ #

概念	公式	說明
時域振幅	$A$	cos 波前面的係數
傅立葉係數	$\|C_n\| = \frac{A}{2}$	雙邊頻譜各半
單邊 → 雙邊	除以 2
雙邊 → 單邊	乘以 2

📋 速查表#

時域	頻率	$\|C_n\|$	δ 係數
$2\cos(500\pi t)$	250 Hz	1	1
$4\cos(1000\pi t)$	500 Hz	2	2
$-8\cos(2000\pi t)$	1000 Hz	4	-4

💡 考試必記：

cos 轉指數：A 除 2，前 +j 後 -j

cos 轉 δ：A 除 2，δ(f±f₀)

提取頻率： $\cos(k\pi t) \to f = k/2$ Hz

負號：變相位 +180°

📌 EX2：取樣定理速記#

📖 定理敘述#

有限頻寬訊號 $x(t)$ 頻寬為 $f_{max}$ ，今以速率 $f_s$ 取樣此訊號，若取樣速率大於 $2f_{max}$ ，則 $x(t)$ 可以將其取樣後離散時間訊號 $x_s(t)$ 用 LPF 重建回來。

🎯 核心公式（必背！）#

$\boxed{f_s \geq 2f_{max}}$

名詞	符號	說明
取樣頻率	$f_s$	每秒取幾個樣本
最高頻率	$f_m$	訊號的頻寬
奈式頻率	$2f_m$	最低取樣速率（Nyquist Rate）

🔑 三句話記住取樣定理#

取樣速率 ≥ 2 倍頻寬 → 可用低通濾波器重建原訊號 ✅
取樣速率 < 2 倍頻寬 → 頻譜重疊 (Aliasing) → 無法重建 ❌
奈式頻率 = 2 $f_m$ → 剛好不重疊的臨界值

📊 重建流程#

1
取樣訊號 x_s(t) → [ 理想低通濾波器 H(f) ] → 原訊號 x(t)
2
      ↓                    ↓                    ↓
3
    X_s(f)               H(f)                 X(f)

低通濾波器條件：截止頻率 $f_c$ 滿足 $f_m < f_c < f_s - f_m$

⚠️ Aliasing（頻譜重疊）#

情況	條件	結果
✅ 無重疊	$f_s \geq 2f_m$	可完美重建
❌ 有重疊	$f_s < 2f_m$	高頻被誤認為低頻，無法復原

📝 考試速解#

題目問「能否重建」？

先找 $f_m$ （最高頻率）
算 $2f_m$ （奈式頻率）
比較 $f_s$ $f_{s}$ 和 $2f_m$ $2 f_{m}$
- $f_s \geq 2f_m$ → 可以重建
- $f_s < 2f_m$ → Aliasing，不能重建

題目問「如何重建」？

答：使用理想低通濾波器，截止頻率 $f_m < f_c < f_s - f_m$

💡 口訣：「取樣兩倍頻，重建沒問題；不到兩倍頻，Aliasing 來攪局！」

🔗 相關資源#

資源	連結
訊號與系統 - MIT OpenCourseWare	🔗 ocw.mit.edu
Signals and Systems 教科書	🔗 amazon.com
傅立葉轉換視覺化工具	🔗 jezzamon.com
3Blue1Brown 傅立葉動畫	🔗 youtube.com

📝 作者筆記：訊號與系統的核心在於理解「時域與頻域的對應關係」。多練習畫頻譜圖，熟悉常用的傅立葉轉換對，考試就能迎刃而解！祝考試順利！🎓

訊號與系統基礎概念與速解#

📐 傅立葉轉換定義#

Part 1：基礎概念題 (第 1-2 題)#

📝 第 1 題：訊號的分類方式 (8%)#

題目原文#

解答#

📚 重點說明#

📝 考試答題模板#

📝 第 2 題：LTI 系統的時域與頻域表示 (8%)#

題目原文#

解答#

📚 重點說明#

📝 考試答題模板#

Part 2：傅立葉分析與卷積 (第 3-4 題)#

📝 第 3 題：正弦訊號的傅立葉分析 (12%)#

題目原文#

解答#

Step 1：分析各分量的頻率與振幅#

Step 2：單邊頻譜與雙邊頻譜#

Step 3：傅立葉轉換 X(f)X(f)X(f)#

📝 考試答題模板#

🔧 卷積觀念補充：矩形脈衝卷積#

暖身題#

卷積的圖解法#

三種情況分析#

矩形卷積的完整答案#

📝 第 4 題：卷積運算 (12%)#

題目原文#

解答#

🎬 卷積過程圖解#

🔑 Step 1：寫出卷積公式#

🔑 Step 2：找出積分範圍（最重要的步驟！）#

🔑 Step 3：化簡被積函數（當 t≥0t \geq 0t≥0）#

🔑 Step 4：把常數提到積分外面#

🔑 Step 5：計算 ∫e3τdτ\int e^{3\tau} d\tau∫e3τdτ（微積分核心）#

🔑 Step 6：代入積分上下限#

🔑 Step 7：乘回 e−3te^{-3t}e−3t#

🔑 Step 8：寫出完整答案（分段函數形式）#

📊 驗算（考試一定要驗算！）#

🤔 為什麼 y(0)=0y(0) = 0y(0)=0？（解答您的疑問！）#

📈 波形圖#

📝 考試答題模板#

Part 3：濾波器與取樣定理 (第 5-6 題)#

📝 第 5 題：理想濾波器分析 (20%)#

題目原文#

解答#

Step 1：分析輸入訊號各分量頻率#

Step 2：各濾波器輸出#

視覺化整理#

📝 考試答題模板#

📝 第 6 題：取樣與重建 (20%)#

題目原文#

解答#

Step 1：分析訊號頻率成分#

(1)-(4) 頻譜分析圖#

(2) 傅立葉轉換#

(3) 頻寬#

(5) 如何重建原訊號#

(6) 取樣定理 (Nyquist-Shannon Sampling Theorem)#

📝 考試答題模板#

Part 4：傅立葉級數與進階取樣 (第 7-8 題)#

📝 第 7 題：傅立葉級數分析 (12%)#

題目原文#

解答#

Step 1：識別各諧波分量#

(1) 平均功率#

(2) DC 分量的平均功率#

(3) 雙邊振幅頻譜#

(4) 頻寬分析#

📝 考試答題模板#

📝 第 8 題：三角頻譜的取樣 (15%)#

題目原文#

解答#

(1) 頻寬#

(2) 頻譜分析#

(3) 如何重建訊號#

(4) 取樣定理說明#

📝 考試答題模板#

📋 公式總整理#

傅立葉轉換定義#

Step 3：傅立葉轉換 $X(f)$ #

🔑 Step 3：化簡被積函數（當 $t \geq 0$ ）#

🔑 Step 5：計算 $\int e^{3\tau} d\tau$ （微積分核心）#

🔑 Step 7：乘回 $e^{-3t}$ #

🤔 為什麼 $y(0) = 0$ ？（解答您的疑問！）#

傅立葉轉換 $X(f)$ #

🆚 $|C_n|$ vs 振幅 $A$ #